线性代数 |矩阵【运算、逆、转置】

矩阵

矩阵介绍

一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号[]内排列成m行n列(横的称行，纵的称列)的一个数表，并称它为m*n矩阵。

矩阵相等

当俩个矩阵为同型矩阵时，且对应元素相等时。

数与矩阵相乘

定义：

数n与矩阵A相乘，则记作nA或者An；

例如：

注意：

显然，对于0和1及任意矩阵A，有：0A=0、1A=A

矩阵的运算规律

设A为矩阵，x，y为数值

• (xy)A = y(xA)；
• (x+y)A = xA+yA；

矩阵的加法

条件：只有同维的矩阵才能进行相加。

满足的运算规律

• A+B = B+A；
• (A+B)+C = A+(B+C)；
• x(A+B) = xA+xB:

矩阵与矩阵相乘

公式：

运算过程：A的每一行分别于B中列的每一个元素相乘，并且A的每一行要和B中的每一列相乘。每一行乘每一列即可得出一个值。

• 新的矩阵的行数为A的行数，列数为B的列数。
• 当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，俩个矩阵才能相乘。
• BA与AB一般是不相同的，若相等则是可交换矩阵。且(A^k B^k) != (AB)^k。

运算规律

• (AB)C = A(BC)；
• A(B+C) = AB+AC；
• x(AB) = A(xB)；
• (A+B)^2 当A、B可交换时才有 A^2+2AB+B^2；

矩阵的转置

把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵。A^T

对称矩阵

设A为n阶方阵，若满足A^T = A。
对称阵的元素以主对角线为对称轴。

例如：

反对称矩阵

设A为n阶方阵，若满足A^T =- A。
反对称的主对角元都是0.

例如

运算规则

• (A^T)^T = A；
• (A+B)^T = A^T + B^T；
• (xA)^T = xA^T；
• (AB)^T = B^TA^T；

注意

• A+A^T 是对称矩阵，A-A^T 是反对称矩阵；
• A可表示为对称矩阵与反对称矩阵之和 ；
• 对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。

矩阵的逆

在数的运算中，当(a != 0)有：aa^-1 = 1，则a^-1为a的倒数(逆).
在矩阵运算中，单位矩阵为1。若存在一个矩阵A^-1使得AA^-1 = E，则A^-1为A逆矩阵
条件：矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关

逆矩阵的几种求法

待定系数法

待定系数法顾名思义是一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，

伴随矩阵法

代数余子式求逆矩阵：如果矩阵A可逆，则

（|A|≠0，|A|为该矩阵对应的行列式的值）

初等变换法

方法是一般从左到右，一列一列处理先把第一个比较简单的(或小)的非零数交换到左上角(其实最后变换也行)，用这个数把第一列其余的数消成零处理完第一列后，第一行与第一列就不用管，再用同样的方法处理第二列(不含第一行的数)

性质以及定理

• 可逆矩阵一定是方阵。
• 如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
• A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。
• 可逆矩阵A的转置矩阵A^T^也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
• 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
• 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
• 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

end

线性代数是上半学期学的，但由于课上不认真听，导致很多内容都不熟悉，期末只是简单过一遍。现在学机器学习就得重新在翻书复习，顺便通过博客，将复习的内容记录下来。所以，有考虑算法这些方向的同学们，在课上一定要把基础打好，在以后进一步学习过程中可以节省很多时间。