【现代数字传输】OFDM的原理讲解和MATLAB实现
简介
现代数字传输技术有许多种，例如MSK , GMSK , OFDM, 扩频技术，但是其中OFDM成功地应用于各种重要的通信系统，例如，DAB与DVB，3G/4G与LTE无线通信系统等。所以本篇文章将着重讲解OFDM流程和原理，以及对多径衰落信道下OFDM的MATLAB实现。
目录
二、ODFM思想（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）
2.2.4 接收端进行Demultiplexing（信号分解）
一、前置知识
OFDM是一个相比起基本数字调制来讲更为复杂的数字调制技术，我们学习它之前需要足够的前置知识。
1.1 正弦函数的正交性
这是OFDM技术能实现的非常关键的一个理论，推导如下：
通过举例可以看到，正弦函数具有正交性，这样的好处将在接收端进行体现，因为你可以用积分手段去 过滤掉与某一频率的载波正交的其他载波（因为积分为0）。
1.2 DFT和IDFT
这里直接给出公式：
记住DFT和IDFT的公式模样，这会是解答为什么OFDM采用IFFT调制信号的关键！
1.3 信号的频域形状
最开始的时候，我对于OFDM的频谱长成这样是非常疑惑的：
为啥明明交叠了也是正交的呢？为什么是这么多拱门状的频域响应呢？我们不慌忙推导正交性，首先关注为什么信号的频率响应是拱门状。
其实是这样的，我们无论进行什么数字调制手段，我们调制后的符号都是 0 到 ts 的码元对吧。我们打个比方，BPSK调制，那么有下面的推导证明：
从上推导我们得到以下很重要的性质：
1. 有限制码元周期为 Ts 且频率分量为
的调制符号，其频谱就是 拱门状的频率响应进行
2. 其主瓣的宽度就是
, 集中在
二、ODFM思想（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）
这里将较为细致的讲解ODFM调制的原理，但是更多的细节会在做MATLAB的时候展现出来。
2.1 利用正交的复载波传输信息（正交用在哪？）
我们在前置知识中介绍了，复载波在满足一定频率间隔情况下是正交的，这种正交性带来了解调的方便。试想，我在比如说 的复载波上传输信号
， 在频率为
的复载波上传输信号
。在发送端中，我将两个调制后的复载波相加，一起发送，那么我在接收端，是不是只要分别乘以
的复载波和
的复载波再积分即可只保留相对应的信号了？ 下面这幅图会很清晰的表现出来：
那么试想，我用很多个这样的正交复载波去分别传送信息，在接收端都能通过这种手段解调，那不就很方便吗！（后面也将说明其很大程度地节约了频谱资源）
2.2 OFDM的原理图
先上图，然后一步一步解释在干啥
2.2.1 串并变换
在串并变换的过程中，系统将N个串行的符号
变成并行的。其中有一点很重要！就是本来
的码元周期只有 ts ，但是经过串并变换后 它们都被延长到了
，N 表示N个子载波。
这里的 是已经经过基本数字基带调制的信号，但只是星座映射后的信号，没有乘以载波，所以仍然是矩形波状态，比如说是BPSK的话，星座映射后的信号应该只有1和-1两种电平状态,而如果是QAM的话，就应该有1+1j,1-1j,-1-1j,-1+1j 四种状态。我们将它的数学表达写成：
而其中 就是实部值，
就是虚部的值。
2.2.3 将符号调制到正交的子载波
经过串并变换后，我们分别将 N 个 进行子带调制，分别放在N 个正交的子载波，这里有以下重要的设计要求：
说明：初始载波的频率是
, 经过串并变换后，码元周期从 ts 延长到
，有如下关系
1.
2.
所以第n个正交载波的频率分量是
所以你会发现，OFDM的频谱长这样：
笔者仍未明白 的原理，书上说是为了保持正交性。
此时每一调制后的子载波的数学表达式就是：
2.2.3 Multiplexing/复用（信号合成）
在Multiplexer这一步，我们将信号合成，也即全部加在一起，则：
2.2.4 接收端进行Demultiplexing（信号分解）
在Demultiplexer这一步，我们将接收到的信号分别通过 N 个线路。
2.2.5 接收端进行相干解调
在每一路乘以对应频率分量的正弦波，然后积分，消去其他频率分量的信号，然后再并串变换得到符号。后续比如数字解调（Digital Demodulation）就依据不同的星座映射进行不同的解调了。
2.2 利用IFFT和FFT进行调制和解调
根据OFDM原理，可以看到OFDM信号数学表达式为：
我们可以进行一定的数学推导： 
所以我们可以用非常便捷的IFFT进行ODFM调制，而在接收端，我们进行FFT即可复原信号。注意了，这里的IFFT和FFT的计算都由DSP处理器计算。
2.3 循环前缀 （Cyclic Prefix）
循环前缀的主要目的是为了消除多径信道带来的 ISI（Inter-symbol Interference），要理解它必须得先知道 ISI 从哪来，又怎么消除。
2.3.1 ISI 从哪来
我们先看下面的图（摘自李晓峰 通信原理），其中 和
是正交的两个频率：
只关注T（积分区间），可以看到两个频率的无时延路径（第一行和第三行），在积分区间内彼此正交。但是看两个频率的有时延路径（第二行和第四行），由于时延，两个频率不再正交。两个频率不再正交就意味着这两个子载波在接收端无法用相干解调，造成符号之间的干扰，这就是ISI 来的原因。
2.3.2 如何消除ISI
一种有效的做法就是加入循环前缀（Cyclic Prefix），如图：
可以看到，加入循环前缀后，在T（积分区域），两频率仍然正交。
注意：循环前缀的长度（或者说持续时间）必须大于信道的时延，看图的话应该很容易发现。
三、OFDM的MATLAB仿真
3.1 仿真的系统（理想信道估计）
注意，这里的信道信息是用 理想信道估计 获得的，理想信道估计无他，就是指你在接收端已经完全知道信道信息，就叫做理想信道估计。通常我们其实是不知道信道信息的，所以需要在IFFT之前，设计导频结构，有块状导频，梳状导频和格状导频。但在这里我不仿真了，以后有时间加上。
3.2 代码
这是一个函数，已经做好了备注。参数：nos是number of symbol，就是你要仿真几个OFDM符号，SNR_dB就是接收端的信噪比，H就是信道信息。
function output = OFDM(nos,SNR_dB,H)
%OFDM: This is a function of generation of OFDM symbol and demodulate it
% BER = OFDM(nos,noise_power_dB,H); where nos is number of symbol; H is
% dataset of channel
%%
%Generation of OFDM symbols signal
K=1024; % K number of sub-carriers
nop=23; % Number of paths in channel
tau=1;
tau_max=nop*tau; % The time delay of each path
cp=tau_max+2; % Length of cyclic prefix
OFDM_symbol_overall=[]; % All OFDM Symbol with CP
mes=[]; % Original bit stream - message
for i=1:1:nos
bits=randi([0 1],K,1); % One OFDM symbol
symbol_bpsk=2*bits-1; % Modulate bits with BPSK
OFDM_symbol=ifft(symbol_bpsk,K).*sqrt(1024); % Generation of OFDM symbol and normalization
CP=OFDM_symbol(K-cp+1:K); % Cyclic prefix
OFDM_symbol_cp=[CP;OFDM_symbol]; % Combine CP with OFDM symbol
OFDM_symbol_overall=[OFDM_symbol_overall;OFDM_symbol_cp]; % Combine every OFDM Symbol
mes=[mes;bits];
end
%%
%OFDM signal passed through Multi-paths channel
OFDM_symbols_mp=zeros(nos*(K+cp)+(nop-1)*tau,nop); % OFDM symbols passing through multi-paths channel
for i=1:23
H_part=H( ((i-1)*tau+1) :(nos*(K+cp)+tau*(i-1)),i); % truncate partial of H corresponding to the time delay
OFDM_symbols_mp( ((i-1)*tau+1) :(nos*(K+cp)+(i-1)*tau),i)=OFDM_symbol_overall.*H_part;
end
%%
%AWGN Channel in Receiver
N0 = 1/10^(SNR_dB/10); % Noise power
noise = sqrt(N0/2)*(randn(1,nos*(K+cp))+1i*randn(1,nos*(K+cp))); % AWGN Noise
%%
% Receive & Normalization & Removing Cyclic prefix
OFDM_signal_rec=sum(OFDM_symbols_mp,2); % Multi-paths Combination
OFDM_signal_rec=OFDM_signal_rec(1:nos*(K+cp),1); % Truncation since the receiver only demodulates specific length of signal
OFDM_signal_rec=OFDM_signal_rec+noise';
rec_n=OFDM_signal_rec./sqrt(1024); %Normalization of received signal
rec_nr=zeros(K*nos,1); % Remove the cyclic prefix
for i=1:1:nos
rec_nr( (i-1)*K+1 : i*K )=rec_n(( (i-1) * (K+cp)+cp+1 ): (i*(K+cp)) ,1);
end
%%
%Ideal Channel Estimation - Indicates that we've already known the channal
%Equalizatin
rec_sig_e=zeros(nos*K,1);
for j=1:1:nos
ICE=zeros(K,1);
for i=1:1:nop
H_cor=H( (((j-1)*(K+cp)+cp+1)+(i-1)*tau) : (j*(K+cp)+(i-1)*tau) ,i);
ICE(i)=mean(H_cor);
end
ICE_F=fft(ICE,K); % The frequence domain of estimated channel
rec_sig_e( ((j-1)*K+1):j*K ,1 )=fft(rec_nr( ((j-1)*K+1):j*K ,1 ),K)./ICE_F;
end
%%
%Detection
x_e=real(rec_sig_e)>0;
%%
%BER
BER=sum(abs(x_e-mes))/(nos*K);
output=BER;
%{
disp(['Information: ']);
disp(['1.The number of OFDM symbols is ',num2str(nos)]);
disp(['2.The S/N in dB is ',num2str(SNR_dB)]);
disp(['3.The bit error rate is ',num2str(BER)]);
%}
end3.3 OFDM系统（非理想信道估计）
以后补上