线性代数一（基本概念）

大大源码 • 2023年5月24日 pm11:10 • 其他

① https://blog.csdn.net/qq_16555103/article/details/88378009 ---------- 几个重要的矩阵点积
② $P.A.Q = B$ AB等价、 $P^{-1}.A.P = B$ AB相似、 $P^{T}.A.P = B$ AB 合同。
③ C’C一定是对称矩阵（C’C的转置 == C’C）

一、线性代数基本知识：

1、线性：

数乘运算与加法运算呈现线性。

2、

二、向量：

1、向量的表示方法：

其中的 i、j、k是坐标轴方向的单位向量。

2、向量的模：

用坐标计算的方法：

3、向量的运算：

（1）向量的加法减法：

（2）向量的数乘：

拉格朗日乘数法的基础公式。

（3）向量的数量积（点积、内积）：

（4）向量的的向量积（外积、叉积）：

（5）正交向量：

三、矩阵基本知识：

理解：①矩阵是一个向量组，由许多行向量和纵向量组成。
②矩阵方程求解用增广矩阵初等变换化为 E 。齐次/非齐次方程组的解用初等变化化为行最简阶梯型。
③初步认为由多元一次方程组的系数组成（区别于矩阵初等变换求解矩阵方程）。矩阵是一种线性变换，可以将一些向量转化为另一种向量。
④ 矩阵乘法没有消去律与交换律

2、矩阵的直观感受：

3、矩阵与向量：

理解：A（m*n）每一行或者每一列都属于向量。

四、矩阵的分类：

1、相等矩阵：

①矩阵的形状相同（行数的列数）

②对应元素相同。

2、同形矩阵：

矩阵的形状相同。

3、方阵：

只有方阵才具有对角线。

矩阵A中 m = n，称之为方阵。

4、负矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：

5、对角矩阵：是方阵

1、对角矩阵的展示：可以用上尖角符号表示，如下：

2、对角矩阵的迹： trA

7、单位矩阵：常常用 E或I 来表示。它是一个方阵。

特性：A * E = A （A的列 = E 的行数）任何矩阵 * 单位矩阵都是它本身。

8、零矩阵：

记号用 0 来表示。

9、对称矩阵：方阵

注意：对称矩阵一定是方阵（只有方阵才有对角线）。

五、矩阵的运算：

1、矩阵的加减：

前提：两个矩阵必须是同形矩阵。

矩阵加减具有交换律，矩阵矩阵相乘没有交换律。

计算结果：元素级运算。

2、矩阵的数乘：

计算结果：元素级运算。这里要区别与行列式的数乘。

3、矩阵与向量的乘法：

前提：矩阵的列数等于向量的行数。

计算方式：左列 = 右行条件下，前行 * 后列对应元素乘积的和。

4、矩阵与矩阵的乘法：

得到的新矩阵由左行右列决定行与列。即：（m*n）* (n*s) >>>> (m*s)

注意：矩阵与矩阵的乘法中没有交换律： AB != BA（A B 互逆除外）
当A逆矩阵存在时时：AC = AD >>>>> C = D 原因：并不是消去律，而是两边同时乘上 A的逆矩阵化简。

5、矩阵的转置：

理解：对角线翻转。

转置的性质：

六、行列式基本知识：

1、行列式的特性：

理解：矩阵的一种运算方式。

①行列式一定是个方阵。

2、行列式的计算方法：

定义：所有不同行不同列的元素组合乘积的和。

（1）通过行列式的定义去计算：对角法则。

逆序数的概念：t

方阵行列式计算方法

方阵行列式的值：所有不同行不同列的元素的代数和（正负号有行与列的逆序数决定） -------- 对角线法则的本质

（2）利用行列式的性质将行列式转化为上三角行列式：

转化时：从下到下，从左向右。

①行列式的性质：

性质一：

本质：行列式的逆序数改变，符号要发生改变

性质二：行列式的数乘（一定要区别于矩阵的数乘）

性质三：

行列式如果某一行或某一列与另一行或者另一列存在倍数或者相同，行列式的数值为零。

性质四：行列式之间的加法：

前提：①两个行列式形状相同。
       ②两个行列式仅有一行或一列的元素不相同。
结果：相同元素覆盖照抄，不同元素的行全部对应相加。（列同理）

例：

性质五：

例：

答案：

（3）根据某行或者某列的代数余子式展开：

对于任意一行/一列展开

3、行列式余子式和代数余子式：

以三阶行列式为例：

4、伴随矩阵：

表达式结论： A 是一个 n阶方阵。E 单位矩阵。

该结果是一个对角矩阵，对角线的元素都是 | A | 的值。

即：

5、方阵的逆：只有方阵才有逆。

1、可逆矩阵的定义：

理解：① 可逆方阵      <<<   >>>      可以初等变换为  E   即： AB  = BA  = E 
     ② 可逆方阵      <<<   >>>        | A | != 0 ，即 可逆矩阵（非奇异矩阵）是满秩的方阵
     ③ 可逆矩阵向量组中的向量均线性无关（存在线性相关的向量组不是满秩矩阵）