matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

总述

  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

函数调用格式

S = trapz(x, y);

应用举例

例1：梯形法求积分

x = [0:pi/30:pi]';  
y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
S = trapz(x,y)

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

由于选择的步距较大，为

h

＝

π

／

30

=

0.1

h＝\pi／30 = 0.1

h＝π／30=0.1 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响

题目： 用定步长法求解积分

∫

0

3

π

2

c

o

s

15

x

d

x

\int_0^{\frac{3\pi}{2}}{cos15xdx}

∫023π​​cos15xdx，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：

x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
y=cos(15*x); plot(x,y)  

由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

• 对不同的步距 $h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001$ ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。

syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]; 
for h=h0
	x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x); 
	I = trapz(x,y); 
	v = [v; h,I,A-I]; 
end 

得出结果如下：

可见，随着步距

h

h

h的减小，计算精度逐渐增加。