雅可比矩阵和行列式（Jacobian）
1，Jacobian matrix and determinant
在向量微积分学中，雅可比矩阵是向量对应的函数（就是多变量函数，多个变量可以理解为一个向量，因此多变量函数就是向量函数）的一阶偏微分以一定方式排列形成的矩阵。
如果这个矩阵为方阵，那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式。
2，雅可比矩阵数学定义
假设函数f可以将一个n维向量
x
⃗
\vec{x}
x（
x
⃗
∈
R
n
\vec{x}\in R^n
x∈Rn）变成一个m维向量f(
x
⃗
\vec{x}
x),
f
(
x
⃗
)
∈
R
m
f(\vec{x})\in R^m
f(x)∈Rm，
（显然f是由m个实函数组成的函数）
则函数f的雅可比矩阵
J
f
J_f
Jf可以定义如下：
J
f
=
[
∂
f
∂
x
1
.
.
.
∂
f
∂
x
n
]
=
[
∂
f
1
∂
x
1
.
.
.
∂
f
1
∂
x
n
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
.
.
.
∂
f
m
∂
x
n
]
J_f= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\ \end{matrix} \right]
Jf=[∂x1∂f...∂xn∂f]=⎣⎢⎡∂x1∂f1⋮∂x1∂fm...⋱...∂xn∂f1⋮∂xn∂fm⎦⎥⎤
对于单个元素而言，可以定义如下：
J
i
j
=
∂
f
i
∂
x
j
J_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}
Jij=∂xj∂fi
函数f的雅可比矩阵的其它标记方法为
∂
(
f
1
,
.
.
.
,
f
m
)
∂
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
\frac{\partial (f_1, ..., f_m)}{\partial (x_1, ..., x_n}
∂(x1,...,xn∂(f1,...,fm)
3，例子
3.1 设函数f为二维空间到二维空间的变换
3.2 极坐标到笛卡尔坐标的变换
3.3 球坐标到笛卡尔坐标的变换
3.4 三维空间到四维空间的变换
3.5 三维空间到三维空间的变换
4，雅可比矩阵意义
雅可比矩阵
J
f
(
p
)
J_f(p)
Jf(p)就是函数f在n维空间某点p处的导数，它是一个线性映射（因为它是一个矩阵，矩阵本身代表着线性变换），它代表着函数f在点p处的最优线性逼近，也就是当x足够靠近点p时，我们有
f
(
x
)
≈
f
(
p
)
+
J
f
(
p
)
∗
(
x
−
p
)
f(x)\thickapprox f(p)+J_f(p)*(x-p)
f(x)≈f(p)+Jf(p)∗(x−p)
这跟2维空间中在某点附近线性逼近一段曲线很类似，如果雅可比矩阵只有一个元素，它就等于2维空间中曲线在某点处的导数。
Note: 微分的本质就是线性化，在局部用线性变化代替非线性变化。
5，雅可比行列式意义
代表经过变换后的空间与原空间的面积（2维）、体积（3维）等等的比例，也有人称缩放因子。
Reference
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant