矩阵范数计算例题_数值计算方法·目录和第一部分

大大源码 • 2023年4月16日 pm8:33 • 其他

第一部分·第一章·误差和有效数字

设

$equation?tex=x$ 为精确值，

$equation?tex=a$ 为

$equation?tex=x$ 的一个近似值：

误差

$equation?tex=x-a$ ，误差界

$equation?tex=e_a%E6%BB%A1%E8%B6%B3%7Cx-a%7C%5Cleqslant+e_a$ ，相对误差

$equation?tex=%5Cdfrac%7Bx-a%7D%7Bx%7D+%5Capprox+%5Cdfrac%7Bx-a%7D%7Ba%7D$ ，相对误差界

$equation?tex=%5Cleft%7C%5Cfrac%7Bx-a%7D%7Ba%7D%5Cright%7C+%5Cleq+%5Cfrac%7Be_%7Ba%7D%7D%7B%7Ca%7C%7D$

把

$equation?tex=a%E5%86%99%E6%88%900.xyz%5Ccdots%5Ctimes10%5Ek$ 的形式，然后计算

$equation?tex=%7Cx-a%7C%5Cleq+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+10%5E%7Bk-n%7D$ ，

$equation?tex=n$ 就是有效数字（正数，如果低于0，即无有效数字）

忽略k值之后，解释有效位数的含义

四舍五入的数可以直接数有效数字。一般来说，绝对误差与小数位数有关，相对误差与有效数字位数有关

另有以下定理，证明见最后一句：

函数的绝对误差

$equation?tex=%7Cf%28x%29-f%28a%29%7C%5Capprox+%7Cf%27%28a%29%7C%7Cx-a%7C$ ，相对误差同理，多元函数偏导（代入a）×分量误差求和

四则运算：

$equation?tex=%7C%28x_1%5Cpm+x_2%29-%28a_1+%5Cpm+a_2%29%7C%5Cleq+%7Cx_1-a_1%7C%2B%7Cx_2-a_2%7C$

$equation?tex=%7Cx_1x_2-a_1a_2%7C%5Cleq%7Ca_2%7C%7Cx_1-a_1%7C%2B%7Ca_1%7C%7Cx_2-a_2%7C$

$equation?tex=%5Cleft%7C%5Cfrac%7Bx_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D%7D-%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%5Cright%7C+%5Cleq+%5Cfrac%7B%5Cleft%7Ca_%7B2%7D%5Cright%7C%5Cleft%7Cx_%7B1%7D-a_%7B1%7D%5Cright%7C%2B%5Cleft%7Ca_%7B1%7D%5Cright%7C%5Cleft%7Cx_%7B2%7D-a_%7B2%7D%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7Ca_%7B2%7D%5Cright%7C%5E%7B2%7D%7D$

计算中避免小数作除数和两个相近的数相减，避免有效位数损失，减少运算次数

稳定性作了解，主要是误差是否放大：

秦九韶算法：

$equation?tex=p_n%28x%29%3D%28%5Ccdots%28%28a_nx%2Ba_%7Bn-1%7D%29x%2Ba_%7Bn-2%7D%29x%5Ccdots%29x%2Ba_0$ 从里往外算

范数和算子范数

满足以下定义：

$equation?tex=%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C%5Cgeq0%EF%BC%8C%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C%3D0%E5%BD%93%E4%B8%94%E4%BB%85%E5%BD%93x%E6%98%AF%E9%9B%B6%E9%98%B5%E6%88%96%E9%9B%B6%E5%90%91%E9%87%8F%5C%5C+%7C%7C%5Calpha+%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C%3D%7C%5Calpha%7C%5Ccdot%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C%5C%5C+%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%2B%5Cbm%7By%7D%7C%7C%5Cleq%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C%2B%7C%7C%5Cbm%7By%7D%7C%7C%5C%5C+%E5%AF%B9%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%8C%83%E6%95%B0%EF%BC%8C%E8%BF%98%E6%9C%89%E7%9B%B8%E5%AE%B9%E6%80%A7%E8%A6%81%E6%B1%82%EF%BC%9A%7C%7C%5Cbm%7BAB%7D%7C%7C%5Cleq%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C%5Ccdot%7C%7C%5Cbm%7BB%7D%7C%7C$

加权的向量范数先权值矩阵×向量，再求解即可。

常用向量范数定义如下：

$equation?tex=%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C_1%3D%E5%90%91%E9%87%8F%E5%88%86%E9%87%8F%E6%B1%82%E6%A8%A1%E4%BD%9C%E5%92%8C%5C%5C%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C_2%3D%E6%9C%80%E5%B8%B8%E7%94%A8%E7%9A%84%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%88%E6%A8%A1%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%8A%A0%E5%92%8C%E5%90%8E%E5%BC%80%E6%96%B9%EF%BC%89%5C%5C%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C_%7B%5Cinfty%7D%3D%E5%88%86%E9%87%8F%E6%A8%A1%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%5C%5C%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C_p%3D%E5%88%86%E9%87%8Fp%E6%AC%A1%E6%96%B9%E4%BD%9C%E5%92%8C%E5%86%8D%E5%BC%80p%E6%AC%A1%E6%96%B9$

常用矩阵范数定义如下：

$equation?tex=%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C_%7Bm_1%7D%3D%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%90%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E6%A8%A1%E4%B9%8B%E5%92%8C%5C%5C+%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C_F%3D%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%90%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E6%A8%A1%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%90%8E%E5%BC%80%E6%96%B9$

向量范数具有等价性，对均为

$equation?tex=n$ 维的向量范数

$equation?tex=%7C%7C%5Ccdot%7C%7C_%5Calpha$ 和

$equation?tex=%7C%7C%5Ccdot%7C%7C_%5Cbeta$ ，总能找到

与向量无关的正数

$equation?tex=c_1%E5%92%8Cc_2$ ，使

$equation?tex=c_1%7C%7C%5Ccdot%7C%7C_%5Cbeta%5Cleq+%7C%7C%5Ccdot%7C%7C_%5Calpha+%5Cleq+c_2%7C%7C%5Ccdot%7C%7C_%5Cbeta$

$equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+%5C%7Cx%5C%7C_%7B%5Cinfty%7D+%5Cleq%5C%7Cx%5C%7C_%7B1%7D+%5Cleq+n%5C%7Cx%5C%7C_%7B%5Cinfty%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5C%7Cx%5C%7C_%7B1%7D+%5Cleq%5C%7Cx%5C%7C_%7B2%7D+%5Cleq%5C%7Cx%5C%7C_%7B1%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5C%7Cx%5C%7C_%7B2%7D+%5Cleq%5C%7Cx%5C%7C_%7B%5Cinfty%7D+%5Cleq%5C%7Cx%5C%7C_%7B2%7D+%5Cend%7Barray%7D$

（∞≤2≤1）

矩阵范数M与向量范数V相容，只要

$equation?tex=%7C%7C%5Cbm%7BAx%7D%7C%7C_V%5Cleq+%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C_M%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C_V$ 对任意矩阵和向量成立即可。

算子范数定义：

$equation?tex=%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C_M%3D%5Cmax%5Climits_%7Bx%5Cneq+0%7D%5Cdfrac%7B%7C%7C%5Cbm%7BAx%7D%7C%7C_V%7D%7B%7C%7C%5Cbm%7Bx%7D%7C%7C_V%7D$ ，它是

从属于向量范数V的，只要证明了这个式子，即可说明它是一种算子范数（不必证非负性、齐次性等）。

最常用的算子范数（分别从属于对应的向量范数）：

$equation?tex=%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C_1%3D%E6%A8%A1%E6%8C%89%E5%88%97%E6%B1%82%E5%92%8C%EF%BC%8C%E5%8F%96%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%5C%5C+%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C_%5Cinfty%3D%E6%A8%A1%E6%8C%89%E8%A1%8C%E6%B1%82%E5%92%8C%EF%BC%8C%E5%8F%96%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%5C%5C+%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C_2%3D%5Csqrt%7B%5Crho%28%5Cbm%7BA%7D%5EH%5Cbm%7BA%7D%29%7D$

(从矩阵的1,2,∞范数能导出对应向量的）

对任何算子范数，都有

$equation?tex=%7C%7C%5Cbm%7BI%7D%7C%7C%3D1$ ，所以m1范数和F范数都不是算子范数。

矩阵范数和向量范数必定可以找到相容者（
并不是说所有的矩阵和向量范数都相容），并且不是一一对应的关系。

矩阵的谱和特殊矩阵

方阵的谱

$equation?tex=%5Csigma%28%5Cbm%7BA%7D%29$ 是特征值的集合，谱半径是特征值

的模里最大的那一个（思考：谱半径为什么不能作范数？）。

①可证明

$equation?tex=%5Cbm%7BA%7D%5EH%5Cbm%7BA%7D%E5%92%8C%5Cbm%7BA%7D%5Cbm%7BA%7D%5EH$ 都是复对称（对称之后各元素取

共轭）半正定矩阵：

酉矩阵

$equation?tex=%5Cbm%7BU%7D%5Cbm%7BU%7D%5EH%3D%5Cbm%7BU%7D%5EH%5Cbm%7BU%7D%3D%5Cbm%7BI%7D$ ，有

$equation?tex=%7C%7C%5Cbm%7BU%7D%7C%7C_2%3D1%2C%7C%7C%5Cbm%7BUA%7D%7C%7C_2%3D%7C%7C%5Cbm%7BAU%7D%7C%7C_2%3D%7C%7C%5Cbm%7BA%7D%7C%7C_2$ ：