系统性质与z变换零极点分布讨论

Author： Sijin Yu

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幅频特性

H

(

z

)

H(z)

H(z) 极点对应的角频率有

∣

H

(

e

j

ω

)

∣

|H(e^{j\omega})|

∣H(ejω)∣ 极大值

H

(

z

)

H(z)

H(z) 零点对应的角频率有

∣

H

(

e

j

ω

)

∣

|H(e^{j\omega})|

∣H(ejω)∣ 极小值

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因果稳定性 (极点)

因果 (右边序列): 收敛域在

H

(

z

)

H(z)

H(z) 最外的极点之外

反因果 (左边序列): 收敛域在

H

(

z

)

H(z)

H(z) 最内的极点之内

稳定: 收敛域包含单位圆

因果稳定 (物理可实现):

H

(

z

)

H(z)

H(z) 所有极点都在单位圆内

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逆系统

H

(

z

)

H(z)

H(z) 的极点是

H

−

1

(

z

)

H^{-1}(z)

H−1(z) 的零点

H

(

z

)

H(z)

H(z) 的零点是

H

−

1

(

z

)

H^{-1}(z)

H−1(z) 的极点

---

最小相位与最大相位 (零点)

最小相位:

H

(

z

)

H(z)

H(z) 所有零点都在单位圆内

最大相位:

H

(

z

)

H(z)

H(z) 所有零点都在单位圆外

要使

H

(

z

)

H(z)

H(z) 的逆系统物理可实现,

H

(

z

)

H(z)

H(z) 必须为最小相位系统

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全通系统

H

(

z

)

H(z)

H(z) 的每个极点都必有一个互为共轭对称的零点

若

z

=

r

e

j

ϕ

z=re^{j\phi}

z=rejϕ 为极点, 则必有一个零点:

z

=

1

r

e

−

j

ϕ

z=\frac1re^{-j\phi}

z=r1​e−jϕ

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线性相位的FIR系统 (零点)

所有零点关于实轴对称, 关于单位圆对称 (零点总是以4个为一组存在的, 实轴或单位圆上的零点成对存在)

关于

z

=

1

z=1

z=1 和

z

=

−

1

z=-1

z=−1 处的零点:

I型序列

z

=

1

z=1

z=1 有偶数个零点,

z

=

−

1

z=-1

z=−1 有偶数个零点

II型序列

z

=

1

z=1

z=1 有偶数个零点,

z

=

−

1

z=-1

z=−1 有奇数个零点

III型序列

z

=

1

z=1

z=1 有奇数个零点,

z

=

−

1

z=-1

z=−1 有奇数个零点

IV型序列

z

=

1

z=1

z=1 有奇数个零点,

z

=

−

1

z=-1

z=−1 有偶数个零点