【求解AX=0】
首先我们给出矩阵
A
A
A:
A
=
[
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
]
A=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 2\quad4\quad6\quad8\\ 3\quad6\quad8\quad10\\ \end{array} } \right]
A=⎣
⎡1222246836810⎦
⎤
我们要求解
A
X
=
0
AX=0
AX=0的常规解法就是利用消元
-
由于消元所用到的初等变换均不会使方程的右侧(0)发生改变,因此我们只需要考虑方程的左侧即可。
-
我们对其进行消元,首先行2减去两倍的行1得到:
[
1
2
2
2
0
0
2
4
3
6
8
10
]
\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 3\quad6\quad8\quad10\\ \end{array} } \right]
⎣
⎡1222002436810⎦
⎤ -
而后用行3减去三倍的行1:
[
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
]
\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ \end{array} } \right]
⎣
⎡122200240024⎦
⎤ -
然后我们用行3减去行2:
[
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
]
=
U
\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]=U
⎣
⎡122200240000⎦
⎤=U -
可以看到这个矩阵的主元只有两个,因此我们称这个矩阵的秩为2
-
对应的这个矩阵有两个主列,即列1和列3,其他两列我们称为自由列(之所以称为自由列,是因为其对应的未知数的解我们可以任取)
我们再来求解
U
X
=
0
UX=0
UX=0,即:
[
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
]
[
x
1
x
2
x
3
x
4
]
=
[
0
0
0
0
]
\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} x_1\\ x_2\\ x_3\\x_4 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 0\\ 0\\ 0\\0 \end{array} } \right]
⎣
⎡122200240000⎦
⎤⎣
⎡x1x2x3x4⎦
⎤=⎣
⎡0000⎦
⎤
写成线性方程组的形式即:
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 10: x_1+2x_2+&̲2x_3+2x_4=0\\&2…
-
前面有提到自由列对应的未知数可以任意取值,我们不妨取
x
2
=
1
,
x
4
=
0
x_2=1,x_4=0
x2=1,x4=0
-
因此我们可以求得一个解为
[
−
2
1
0
0
]
\left[ {\begin{array}{cc} -2\\ 1\\ 0\\0 \end{array} } \right]
⎣
⎡−2100⎦
⎤ -
进而我们可以得到任意
c
∈
R
c\in R
c∈R,
c
[
−
2
1
0
0
]
c\left[ {\begin{array}{cc} -2\\ 1\\ 0\\0 \end{array} } \right]
c⎣
⎡−2100⎦
⎤也是该方程的解,我们称他为方程组的一组特解 -
同样我们可以通过取不同的自由值得到不同的解
对于上面的矩阵
U
U
U,我们可以按照一定的原则继续化简
- 主元上下的元素均为0,
- 主元变为1
因此我们就得到了矩阵
R
R
R:
[
1
2
0
−
2
0
0
1
2
0
0
0
0
]
\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad0-2\\ 0\quad0\quad1\quad2\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]
⎣
⎡120−200120000⎦
⎤
如果我们将主列放在前面,自由列放在后面,我们就可以得到一个由主列构成的单位矩阵
I
I
I,和自由列构成的矩阵
F
F
F
[
1
0
0
1
]
[
2
−
2
0
2
]
\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad0\\ 0\quad1\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 2-2\\ 0\quad2\\ \end{array} } \right]
[1001][2−202]
因此我们的矩阵
R
R
R可以表示为一种通用的形式:
R
=
[
I
F
0
0
]
R=\left[ {\begin{array}{cc} I\quad F\\ 0\quad0\\ \end{array} } \right]
R=[IF00]
那么我们有没有办法一次性求出所有特解呢,我们假设特解矩阵为
N
N
N,即:
R
N
=
0
RN=0
RN=0
解得:
N
=
[
−
F
I
]
N=\left[ {\begin{array}{cc} -F\\ I\\ \end{array} } \right]
N=[−FI]
其中
N
N
N的每列都是一组特解