【求解AX=0】

首先我们给出矩阵

A

A

A

A

=

[

1

2

2

2

2

4

6

8

3

6

8

10

]

A=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 2\quad4\quad6\quad8\\ 3\quad6\quad8\quad10\\ \end{array} } \right]

A=
1222246836810

我们要求解

A

X

=

0

AX=0

AX=0的常规解法就是利用消元

  • 由于消元所用到的初等变换均不会使方程的右侧(0)发生改变,因此我们只需要考虑方程的左侧即可。

  • 我们对其进行消元,首先行2减去两倍的行1得到:

    [

    1

    2

    2

    2

    0

    0

    2

    4

    3

    6

    8

    10

    ]

    \left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 3\quad6\quad8\quad10\\ \end{array} } \right]


    1222002436810

  • 而后用行3减去三倍的行1:

    [

    1

    2

    2

    2

    0

    0

    2

    4

    0

    0

    2

    4

    ]

    \left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ \end{array} } \right]


    122200240024

  • 然后我们用行3减去行2:

    [

    1

    2

    2

    2

    0

    0

    2

    4

    0

    0

    0

    0

    ]

    =

    U

    \left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]=U


    122200240000
    =
    U

  • 可以看到这个矩阵的主元只有两个,因此我们称这个矩阵的秩为2

  • 对应的这个矩阵有两个主列,即列1和列3,其他两列我们称为自由列(之所以称为自由列,是因为其对应的未知数的解我们可以任取

我们再来求解

U

X

=

0

UX=0

UX=0,即:

[

1

2

2

2

0

0

2

4

0

0

0

0

]

[

x

1

x

2

x

3

x

4

]

=

[

0

0

0

0

]

\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 0\quad0\quad2\quad4\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} x_1\\ x_2\\ x_3\\x_4 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 0\\ 0\\ 0\\0 \end{array} } \right]


122200240000

x1x2x3x4
=

0000

写成线性方程组的形式即:

KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 10: x_1+2x_2+&̲2x_3+2x_4=0\\&2…

  • 前面有提到自由列对应的未知数可以任意取值,我们不妨取

    x

    2

    =

    1

    ,

    x

    4

    =

    0

    x_2=1,x_4=0

    x2=1,x4=0

  • 因此我们可以求得一个解为

    [

    2

    1

    0

    0

    ]

    \left[ {\begin{array}{cc} -2\\ 1\\ 0\\0 \end{array} } \right]


    2100

  • 进而我们可以得到任意

    c

    R

    c\in R

    cR

    c

    [

    2

    1

    0

    0

    ]

    c\left[ {\begin{array}{cc} -2\\ 1\\ 0\\0 \end{array} } \right]

    c
    2100
    也是该方程的解,我们称他为方程组的一组特解

  • 同样我们可以通过取不同的自由值得到不同的解

对于上面的矩阵

U

U

U,我们可以按照一定的原则继续化简

  • 主元上下的元素均为0,
  • 主元变为1

因此我们就得到了矩阵

R

R

R:

[

1

2

0

2

0

0

1

2

0

0

0

0

]

\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad0-2\\ 0\quad0\quad1\quad2\\ 0\quad0\quad0\quad0\\ \end{array} } \right]


120200120000

如果我们将主列放在前面,自由列放在后面,我们就可以得到一个由主列构成的单位矩阵

I

I

I,和自由列构成的矩阵

F

F

F

[

1

0

0

1

]

[

2

2

0

2

]

\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad0\\ 0\quad1\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 2-2\\ 0\quad2\\ \end{array} } \right]

[1001][2202]

因此我们的矩阵

R

R

R可以表示为一种通用的形式:

R

=

[

I

F

0

0

]

R=\left[ {\begin{array}{cc} I\quad F\\ 0\quad0\\ \end{array} } \right]

R=[IF00]

那么我们有没有办法一次性求出所有特解呢,我们假设特解矩阵为

N

N

N,即:

R

N

=

0

RN=0

RN=0

解得:

N

=

[

F

I

]

N=\left[ {\begin{array}{cc} -F\\ I\\ \end{array} } \right]

N=[FI]

其中

N

N

N的每列都是一组特解


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