信号与系统sa函数求积分_变限积分函数求导以及高阶导数求法的一些总结
感谢 @聚创考研 的张帆老师,给我上了一堂生动的课。特此总结一下课上求导数的方法(怕自己忘了)。
1.变限积分函数求导
变限积分函数求导简单的分为三类:
第一类(或者形如
这种)可以直接得到
,第二、第三类被积函数里有x,由于需要对x求导,因此不能直接像第一类一样简单,需要转化一下,其中,第三类需要换元,换元三步走:
其中①和③的符号可以抵消
利用换元法,可以推导出以下公式:
从而
将这个公式应用到上述的公式③,我们会发现,公式③变成了公式②,
因此我们得到以下式子:
将这些式子记牢可以在考试时节省大量时间。
针对复杂的变限积分求导则有:
例题一、
由恒等式④可以将根式里面的
提取到根式外面的e里,简化我们的步骤,因此可以得到:
由于
是非零因式,可以提取到外面:
接下来使用洛必达法则就十分简单了
2.利用数列极限求高阶导数
例题一、
求
一般的方法是不停得求导,然后找规律,这里提供一个公式:
由这个公式带入可得
所以这道题答案为
为什么会这样?原因是上述公式中的
即
在求多次导后会变成0,由此我们总结出一个规律当
时,使用上述技巧可以很快求得高阶导数。
例题二、
求
这道题显然不能用上述的公式了,然而,还有一种方法比上述公式更加快,这种方法
分为三个步骤:
<1>将函数进行麦克劳林展开
<2>寻找
的系数
<3>系数
n!
这个方法快就快在,我们通过非正常途径推导出函数的麦克劳林展开式,由于麦克劳林展开式里面是包含有0处的高阶导项的,因此可以加以利用。
而这道题的麦克劳林展开式我们将通过数列收敛极限的形式推出。让我们看看一下两个特殊无穷级数的收敛:
很明显,这样的数列是能够被我们拿来利用而获得麦克劳林展开式的,将
带入上式可以得到
由于这个展开式里没有
项,系数自然为0,乘以3!还是0,所以
(当然,用奇函数求出这个0答案,其实更快,这里不过举个例子,关于奇偶函数放到下章总结)
例题三、
求
这道题可以用例题一的方法做,只不过会慢一点,要获取展开式里的
项的系数,只要获得
展开式里的
项系数即可,故结果是
我们也可以用这道题的方法做例一,得到:
,为求20次导数的值,则
,系数为
,乘以
之后得到
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