信号与系统sa函数求积分_变限积分函数求导以及高阶导数求法的一些总结

fc44124461d53df26c1bd416a97b6722.png

感谢 @聚创考研 的张帆老师,给我上了一堂生动的课。特此总结一下课上求导数的方法(怕自己忘了)。

1.变限积分函数求导

变限积分函数求导简单的分为三类:

第一类(或者形如

这种)可以直接得到
,第二、第三类被积函数里有x,由于需要对x求导,因此不能直接像第一类一样简单,需要转化一下,其中,第三类需要换元,换元三步走:

其中①和③的符号可以抵消

利用换元法,可以推导出以下公式:

从而

将这个公式应用到上述的公式③,我们会发现,公式③变成了公式②,

因此我们得到以下式子:

将这些式子记牢可以在考试时节省大量时间。

针对复杂的变限积分求导则有:

例题一、

由恒等式④可以将根式里面的

提取到根式外面的e里,简化我们的步骤,因此可以得到:

由于

是非零因式,可以提取到外面:

接下来使用洛必达法则就十分简单了

2.利用数列极限求高阶导数

例题一、

一般的方法是不停得求导,然后找规律,这里提供一个公式:

由这个公式带入可得

所以这道题答案为

为什么会这样?原因是上述公式中的

在求多次导后会变成0,由此我们总结出一个规律当
时,使用上述技巧可以很快求得高阶导数。

例题二、

这道题显然不能用上述的公式了,然而,还有一种方法比上述公式更加快,这种方法

分为三个步骤:

<1>将函数进行麦克劳林展开

<2>寻找

的系数

<3>系数

n!

这个方法快就快在,我们通过非正常途径推导出函数的麦克劳林展开式,由于麦克劳林展开式里面是包含有0处的高阶导项的,因此可以加以利用。

而这道题的麦克劳林展开式我们将通过数列收敛极限的形式推出。让我们看看一下两个特殊无穷级数的收敛:

很明显,这样的数列是能够被我们拿来利用而获得麦克劳林展开式的,将

带入上式可以得到

由于这个展开式里没有

项,系数自然为0,乘以3!还是0,所以
(当然,用奇函数求出这个0答案,其实更快,这里不过举个例子,关于奇偶函数放到下章总结)

例题三、

这道题可以用例题一的方法做,只不过会慢一点,要获取展开式里的

项的系数,只要获得
展开式里的
项系数即可,故结果是

我们也可以用这道题的方法做例一,得到:

,为求20次导数的值,则
,系数为
,乘以
之后得到

版权声明:本文为weixin_28893221原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。
THE END
< <上一篇
下一篇>>