11QR分解

1.定义

矩阵A可以化为正交(酉)矩阵Q和上三角矩阵R的乘积,即

A

=

Q

R

A=QR

A=QR,则称上式为矩阵的

Q

R

QR

QR分解

2.定理

A

A

A是一个

n

n

n阶非奇异矩阵,则存在正交(酉)矩阵

Q

Q

Q和上三角矩阵

R

R

R使得

A

=

Q

R

A=QR

A=QR,且除去相差一个对角元素绝对值全为1的对角因子外,上述分解唯一。
回顾一下施密特正交化的过程
在这里插入图片描述
可以得到施密特正交化的矩阵为
在这里插入图片描述
证明:

A

=

[

a

1

,

a

2

.

.

.

a

n

]

A=[a_1,a_2...a_n]

A=[a1,a2...an],且

a

1

,

a

2

,

.

.

.

a

n

a_1,a_2,...a_n

a1,a2,...an线性无关。应用施密特正交化的办法可以得到

[

a

1

a

2

a

n

]

=

[

b

1

b

2

b

n

]

[

1

b

k

n

1

1

k

n

2

k

n

n

1

]

\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & b & \cdots & k_{n1} \\ & 1 & \cdots & k_{n2} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & k_{nn-1} \end{matrix} \right]

[a1a2an]=[b1b2bn]1b1kn1kn2knn1对其单位化可得

[

a

1

a

2

a

n

]

=

[

q

1

q

2

q

n

]

[

b

1

b

2

b

n

]

[

1

b

k

n

1

1

k

n

2

k

n

n

1

]

=

Q

R

\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} q_1 & q_2 & \cdots & q_n \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} |b_1| & & & \\ & |b_2| & & \\ & & \ddots & \\ & & & |b_n| \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & b & \cdots & k_{n1} \\ & 1 & \cdots & k_{n2} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & k_{nn-1} \end{matrix} \right]=QR

[a1a2an]=[q1q2qn]b1b2bn1b1kn1kn2knn1=QR接下来我们证明其唯一性:
假设有两个QR分解

A

=

Q

R

=

Q

1

R

1

A=QR=Q_1R_1

A=QR=Q1R1

Q

=

Q

1

R

1

R

1

=

Q

1

D

Q=Q_1R_1R^{-1}=Q_1D

Q=Q1R1R1=Q1D因为

R

1

,

R

R_1,R

R1,R都为上三角矩阵,而上三角矩阵的逆为上三角矩阵,上三角矩阵成上三角矩阵还是上三角矩阵因此

D

D

D是上三角矩阵。又

I

=

Q

H

Q

=

D

H

Q

1

H

Q

1

D

=

D

H

D

I=Q^HQ=D^HQ_1^HQ_1D=D^HD

I=QHQ=DHQ1HQ1D=DHD所以

D

D

D是酉矩阵。所以,

D

D

D只能是对角元素绝对值全为1的对角阵

3.求QR分解的办法

3.1Gives变换(利用Gives变换的

T

x

=

x

e

1

Tx=|x|e_1

Tx=xe1

例题:利用

G

i

v

e

n

s

Givens变换

Givens

A

=

[

2

2

1

0

2

2

2

1

2

]

A=\left[ \begin{matrix} 2 & 2& 1 \\ 0 & 2& 2\\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right]

A=202221122

Q

R

QR分解

QR正交矩阵的转置就是其逆
解:首先对第一列进行Givens变换,有

T

13

=

[

c

0

s

0

1

0

s

0

c

]

,

c

=

a

11

a

11

2

+

a

31

2

=

2

2

2

=

1

2

,

s

=

a

31

a

11

2

+

a

31

2

=

1

2

T_{13}=\left[ \begin{matrix} c & 0& s \\ 0 & 1& 0\\ -s & 0 & c \end{matrix} \right] ,c=\frac{a_{11}}{\sqrt{a_{11}^2+a_{31}^2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},s=\frac{a_{31}}{\sqrt{a_{11}^2+a_{31}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

T13=c0s010s0c,c=a112+a312
a11
=
22
2
=
2
1
,s=
a112+a312
a31
=
2
1
所以可得

T

1

=

[

1

2

0

1

2

0

1

0

1

2

0

1

2

]

,

T

1

A

=

[

2

2

3

2

3

2

0

2

2

0

1

2

1

2

]

,

A

(

1

)

=

[

2

2

1

2

1

2

]

T_1=\left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1& 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0& \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right] ,T_1A=\left[ \begin{matrix} 2\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}}&\frac{3}{\sqrt{2}} \\ 0 & 2& 2\\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right],A^{(1)}=\left[ \begin{matrix} 2& 2\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right]

T1=2
1
02
1
0102
1
02
1
,T1A=
22
00
2
3
22
1
2
3
22
1
,A(1)=
[22
1
22
1
]

A

(

1

)

A^{(1)}

A(1)再进行Givens变换,可以得到

T

12

=

[

c

s

s

c

]

,

c

=

2

2

3

,

s

=

1

3

T_{12}=\left[ \begin{matrix} c & s \\ -s & c \end{matrix} \right],c=\frac{2\sqrt{2}}{3},s=-\frac{1}{3}

T12=[cssc],c=322
,s=
31
所以可得

T

2

=

[

2

2

3

1

3

1

3

2

2

3

]

,

T

2

A

(

1

)

=

[

2

2

3

7

2

6

0

4

3

]

,

T2=\left[ \begin{matrix} \frac{2\sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{matrix} \right],T_2A^{(1)}=\left[ \begin{matrix} \frac{2\sqrt{2}}{3} & \frac{7\sqrt{2}}{6} \\ 0 & \frac{4}{3} \end{matrix} \right],

T2=[322
31
31322
]
,T2A(1)=
[322
0
672
34
]
,
综上可得,

R

=

[

2

2

3

2

3

2

0

2

2

3

7

2

6

0

0

4

3

]

,

Q

=

[

[

1

0

0

T

2

]

T

1

]

T

=

[

1

2

1

3

2

2

3

0

2

2

3

7

2

6

1

2

1

3

2

2

3

]

R=\left[ \begin{matrix} 2\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}}&\frac{3}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{2\sqrt{2}}{3} & \frac{7\sqrt{2}}{6}\\ 0 & 0 & \frac{4}{3} \end{matrix} \right],Q=\left[\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0& T2 \end{matrix} \right]T_1\right]^T=\left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}}&-\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2\sqrt{2}}{3} & \frac{7\sqrt{2}}{6}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3\sqrt{2}}& \frac{2}{3} \end{matrix} \right]

R=22
00
2
3
322
0
2
3
672
34
,Q=
[[100T2]T1]T=2
1
02
1
32
1
322
32
1
32672
32

3.2Householder变换(利用

H

x

=

x

z

Hx=|x|z

Hx=xz

z

z

z矩阵设为e矩阵,u=

x

x

z

x

x

z

\frac{x-|x|z}{|x-|x|z|}

xxzxxz
利用Householder求

A

=

[

0

4

1

1

1

1

0

3

2

]

A=\left[ \begin{matrix} 0 & 4& 1 \\ 1 & 1& 1\\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} \right]

A=010413112

Q

R

QR

QR分解
解:首先对第一列使用Householder变换,可以得到

H

=

I

2

u

u

T

,

x

x

e

1

=

2

,

x

x

e

1

=

[

1

1

0

]

,

u

=

1

2

[

1

1

0

]

H=I-2uu^T,|x-|x|e_1|=\sqrt{2},x-|x|e_1=\left[ \begin{matrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],u=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]

H=I2uuT,xxe1=2
,x
xe1=110,u=2
1
110

2

u

u

T

=

1

2

[

1

1

0

]

1

2

[

1

1

0

]

=

1

2

[

1

1

0

1

1

0

0

0

0

]

2uu^T=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} -1 &1 & 0 \end{matrix} \right]=\frac{1}{2}\left[ \begin{matrix} 1&-1&0\\ -1&1&0 \\ 0&0&0 \end{matrix} \right]

2uuT=2
1
1102
1
[110]=
21110110000

I

2

u

u

T

=

[

0

1

0

1

0

0

0

0

1

]

=

H

,

H

A

=

[

1

1

1

0

4

1

0

3

2

]

I-2uu^T=\left[ \begin{matrix} 0&1&0\\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right]=H,HA=\left[ \begin{matrix} 1&1&1\\ 0&4&1 \\ 0&3&2 \end{matrix} \right]

I2uuT=010100001=H,HA=100143112继续做下去,可以得到
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述


版权声明:本文为xd15010130025原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。
THE END
< <上一篇
下一篇>>